Question

【題目】已知定義域為的單調遞減的奇函數，當時， .

（1）求的值；

（2）求的解析式；

（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）根據函數為奇函數得，結合當時， ，即可求出的值；（2）由定義域為的函數是奇函數，知．當時， ，由函數是奇函數，知，由此能求出的解析式；（3）由是上單調遞減的奇函數， ，得即恒成立，再由根的判別式小于零即可求出實數的取值范圍．

試題解析：（1）f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（﹣2）=；

（2）∵定義域為R的函數f（x）是奇函數，

∴f（0）=0，

當x＜0時，﹣x＞0，

f（﹣x）=﹣﹣2﹣x ，

又∵函數f（x）是奇函數，

∴f（﹣x）=﹣f（x），

∴f（x）=+2﹣x ，

綜上所述f（x）=．

（3）∵f（1）=﹣＜f（0）=0，

且f（x）在R上單調，

∴f（x）在R上單調遞減，

由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0，

得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），

∵f（x）是奇函數，

∴f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），

又∵f（x）是減函數，

∴t2﹣2t＞k﹣2t2

即3t2﹣2t﹣k＞0對任意t∈R恒成立，

∴△=4+12k＜0得k＜﹣，即為所求．