Question

已知函數f（x）=（

1

3

）^x，x∈[-1，1]，函數g（x）=f²（x）-2af（x）+3的最小值為h（a）．
（1）求h（a）的解析式；
（2）是否存在實數m，n同時滿足下列兩個條件：①m＞n＞3；②當h（a）的定義域為[n，m]時，值域為[n²，m²]？若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）g（x）為關于f（x）的二次函數，可用換元法，轉化為二次函數在特定區間上的最值問題，定區間動軸；
（2）由（1）可知a≥3時，h（a）為一次函數且為減函數，求值域，找關系即可．

解答：解：（1）由f(x)=(

1

3

)x，x∈[-1，1]，
知f(x)∈[

1

3

，3]，
令f(x)∈[

1

3

，3]
設f（x）=t，則g（x）=y=t²-2at+3，則g（x）的對稱軸為t=a，故有：
①當a≤

1

3

時，g（x）的最小值h（a）=

28

9

-

2a

3

②當a≥3時，g（x）的最小值h（a）=12-6a
③當

1

3

＜a＜3時，g（x）的最小值h（a）=3-a²
綜上所述，h(a)=

28 9 - 2a 3 a≤ 1 3 3-a2 1 3 ＜a＜3 12-6aa≥3

（2）當a≥3時，h（a）=-6a+12，故m＞n＞3時，h（a）在[n，m]上為減函數，
所以h（a）在[n，m]上的值域為[h（m），h（n）]．
由題意，則

h(m)=n2 h(n)=m2

?

-6m+12=n2 -6n+12=m2

，
兩式相減得6n-6m=n²-m²，
又m≠n，所以m+n=6，這與m＞n＞3矛盾，
故不存在滿足題中條件的m，n的值．

點評：本題主要考查一次二次函數的值域問題，二次函數在特定區間上的值域問題一般結合圖象和單調性處理，“定軸動區間”、“定區間動軸”．