Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）的兩個焦點F1 ， F2和上下兩個頂點B1 ， B2是一個邊長為2且∠F1B1F2為60°的菱形的四個頂點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過右焦點F2 ， 斜率為k（k≠0）的直線與橢圓C相交于E，F兩點，A為橢圓的右頂點，直線AE，AF分別交直線x=3于點M，N，線段MN的中點為P，記直線PF2的斜率為k′．求證：kk′為定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得a=2， ，c=1．

∴橢圓C的方程為

（2）解：設過點F2（1，0）的直線l的方程為：y=k（x﹣1）．

設點E（x1，y1），F（x2，y2），聯立 ，化為（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．

顯然△＞0，∴ ， （*）．

直線AE的方程為 ，直線AF的方程為 ，

令x=3，得點M ，N ．

∴點P ．

直線PF2的斜率為k′=

=

=

= ．

把（*）代入得k′= =﹣ ．

∴ 為定值

【解析】解：（1）由題意利用菱形和含30°角的直角三角形的性質可得a=2， ，c=1．即可得到橢圓C的方程．（2）設過點F2（1，0）的直線l的方程為：y=k（x﹣1）．設點E（x1 ， y1），F（x2 ， y2），與橢圓方程聯立即可得到根與系數的關系，．可得直線AE的方程及直線AF的方程，令x=3，得點M，N的坐標．利用中點坐標公式可得點P的坐標．即可得到直線PF2的斜率為k′，把根與系數代入即可得出kk′為定值．