Question

（1）求過點A（1，-1），B（-1，1），且圓心C在直線x+y-2=0上的圓的標準方程．
（2）一條光線從點A（-2，3）射出，經x軸反射后，與圓（x-3）²+（y-2）²=1相切，求反射線經過所在的直線方程．

Answer 1

分析：（1）設圓心坐標為（a，2-a）且半徑為r，利用圓的標準方程結合題意建立關于a、r的方程組，解之即可得到所求圓C的標準方程；
（2）設反射線與圓相切的切點為B，點Ax軸對稱的點為A'（-2，-3），由題意可知反射線即為直線A'B．因此設直線A'B方程為y+3=k（x+2），利用點到直線的距離公式建立關于k的方程并解出k的值，即可得到所求反射線所在的直線方程．

解答：解：（1）∵圓心C在直線x+y-2=0上
∴設圓的方程為（x-a）²+（y-2+a）²=r²
∵圓C經過點A（1，-1）和B（-1，1），
∴

(1-a)2+(-1-2+a)2=r2 (-1-a)2+(1-2+a)2=r2

，解之得a=1，r=2
因此所求圓C的標準方程為（x-1）²+（y-1）²=4；
（2）點A（-2，3）關于x軸對稱的點為A'（-2，-3），
設反射線與圓相切的切點為B，根據題意得反射線所在直線是A'B所在直線
設直線A'B方程為y+3=k（x+2），即kx-y+2k-3=0
可得圓心（3，2）到直線的距離d=

|5k-5|

k2+1

=r=1
解之得k=

4

3

或

3

4

，
由此可得直線A'B方程為4x-3y-1=0或3x-4y-6=0，即為所求反射線所在直線方程．

點評：本題求滿足條件的直線與圓的方程．著重考查了圓的標準方程、直線的方程和直線與圓的位置關系等知識點，屬于基礎題．