Question

【題目】設函數，其中是實數．

(l）若 ，求函數的單調區間；

(2）當時，若為函數圖像上一點，且直線與相切于點，其中為坐標原點，求的值；

(3) 設定義在上的函數在點處的切線方程為，若在定義域內恒成立，則稱函數具有某種性質，簡稱“函數”．當時，試問函數是否為“函數”？若是，請求出此時切點的橫坐標；若不是，清說明理由．

Answer 1

【答案】（1）增區間為，減區間為；（2）；（3）是“函數”， .

【解析】試題分析：（1）求出，分別令和可以得到函數的增區間和減區間．（2）由題設，曲線在處的切線過原點，故 ，整理得到，根據函數為增函數以及得到．（3）函數在處的切線方程為： ，

構造函數

其導數為分別討論和時的符號以及進一步討論的單調性可知在和上不是“函數”，故，經檢驗符合．

解析：（1）由，得， （），， 由得： ；由得： ．所以的單調增區間為，單調減區間為．

（2）由，得， ． ， 所以切線的斜率．又切線的斜率為，所以， ，即，設， ，所以，函數在(0,＋∞)上為遞增函數，且是方程的一個解，即是唯一解，所以，．

（3）當時，由函數在其圖象上一點處的切線方程為 ，

令

設 ，則．

且

當 時， ，則在上有 ，故在上單調遞增，故當有，所以在有；

當 時， ，則在上有 ，故在上單調遞增，故當有，所以在有；

因此，在上 不是“函數”．

當時， ，所以函數在上單調遞減．

所以， 時， ， ；

時， ， ．因此，切點為點，其橫坐標為．