Question

【題目】已知數列滿足，.

（Ⅰ）證明：是等比數列；

（Ⅱ）證明：數列中的任意三項不為等差數列；

（Ⅲ）證明：.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析.

(2）證明見解析.

(3) 證明見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）由，得，即，又由，所以是首項為2，公比為的等比數列.

（Ⅱ）由（1）得數列的通項公式為，不妨設數列中存在三項，，為等差數列，化簡得，進而得到，由于，所以上式左邊是偶數，右邊是奇數，得出矛盾.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，則，，又由當時，化簡得到，即可利用等比數列的求和公式，即可作出證明.

詳解：（Ⅰ）由，得，即，

故.

又，所以是首項為2，公比為的等比數列.

（Ⅱ）下面用反證法證明數列中的任意三項不為等差數列，

因為，因此數列的通項公式為.

不妨設數列中存在三項，，為等差數列，

又， ，

故，

所以數列中存在三項為等差數列，只能為成立.

即 ，

化簡為，

兩邊同乘，得.

又由于，所以上式左邊是偶數，右邊是奇數，故上式不成立，導致矛盾.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知.

，，

因為當時，，所以.

于是

.

所以.