Question

設數列{an}的各項均為正數，前n項和為Sn，對于任意的n∈N＋，an，Sn，a成等差數列，設數列{bn}的前n項和為Tn，且bn＝，若對任意的實數x∈(1，e](e是自然對數的底)和任意正整數n，總有Tn<r(r∈N＋)．則r的最小值為________．

 

Answer 1

2

【解析】根據題意，對于任意n∈N＋，總有an，Sn，a成等差數列，則對于n∈N*，總有2Sn＝an＋①

所以2Sn－1＝an－1＋ (n≥2)②

①－②得2an＝an＋－an－1－，即an＋an－1＝(an＋an－1)(an－an－1)因為an，an－1均為正數，所以an－an－1＝1(n≥2)，

所以數列{an}是公差為1的等差數列，又n＝1時，2S1＝a1＋a，解得a1＝1，所以an＝n，對于任意的實數x∈(1，e]，有0<ln x<1，對于任意正整數n.總有bn＝≤，所以Tn≤＝，又對任意的實數x∈(1，e]和任意正整數n，總有Tn<r(r∈N＋)，所以r的最小值為2.