Question

【題目】如圖是一個“蝴蝶形圖案（陰影區域）”，其中是過拋物線的兩條互相垂直的弦（點在第二象限），且交于點，點為軸上一點，，其中為銳角

（1）設線段的長為，將表示為關于的函數

（2）求“蝴蝶形圖案”面積的最小值，并指出取最小值時的大小

Answer 1

【答案】（1）（2）“蝴蝶形圖案”面積的最小值為,取最小值時.

【解析】

（1）過點作軸于點,,在中利用三角函數的定義可得,,即點的坐標為,代入拋物線的方程,可得關于的函數.

（2）由題意結合圖形,可由逆時針旋轉得到,即可得到關于的函數,進而可得“蝴蝶形圖案”面積關于的函數,換元后利用配方法求其面積的最小值.

（1）過點作軸于點,

在中,

即:，

由此可得點的坐標為

點是拋物線上的點,將其代入可得:

,即:

解得:

故:

表示為關于的函數為:

（2）根據（1）得: 表示為關于的函數為:

由題意可知:

可由逆時針旋轉得到,其與正半軸夾角為.

可由逆時針旋轉得到,其與正半軸夾角為.

可由逆時針旋轉得到,其與正半軸夾角為.

, ,

設“蝴蝶形圖案”面積為:

令:

為銳角

則 可得:

則,

故時, 即:

化簡為: (為銳角)解得:

綜上所述:“蝴蝶形圖案”面積的最小值為,取最小值時.