Question

【題目】已知函數f（x）＝（2－a）（x－1）－2lnx（a∈R）．

（1）若曲線g（x）＝f（x）＋x上點（1，g（1））處的切線過點（0，2），求函數g（x）的單調減區間；

（2）若函數y＝f（x）在區間（0， ）內無零點，求實數a的最小值．

Answer 1

【答案】（1）函數在(0,2)上遞減（2）函數在上無零點，a的最小值為2-4ln2

【解析】試題分析：（1）求出函數的導數，計算g′（1），求出a的值，從而求出g（x）的遞減區間即可；

（2）問題轉化為對x∈（0， ），a＞2﹣恒成立，令l（x）=2﹣，x∈（0， ），根據函數的單調性求出a的最小值即可．

試題解析：

（1）∵g（x）=（3﹣a）x﹣（2﹣a）﹣2lnx，

∴g′（x）=3﹣a﹣，∴g′（1）=1﹣a，

又g（1）=1，∴1﹣a==﹣1，解得：a=2，

由g′（x）=3﹣2﹣=＜0，解得：0＜x＜2，

∴函數g（x）在（0，2）遞減；

（2）∵f（x）＜0在（0， ）恒成立不可能，

故要使f（x）在（0， ）無零點，只需任意x∈（0， ），f（x）＞0恒成立，

即對x∈（0， ），a＞2﹣恒成立，

令h（x）=2﹣，x∈（0， ），

則h′（x）=，

再令m（x）=﹣2，x∈（0， ），

則m′（x）=＜0，

故m（x）在（0， ）遞減，于是m（x）＞m（）=2﹣2ln2＞0，

從而h′（x）＞0，于是h（x）在（0， ）遞增，

∴h（x）＜h（）=2﹣4ln2，

故要使a＞2﹣恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），

綜上，若函數y=f（x）在（0， ）上無零點，則a的最小值是2﹣4ln2．