【題目】給定橢圓
：
，稱圓心在原點
，半徑為
的圓是橢圓的“準圓”.若橢圓的一個焦點為
，其短軸上的一個端點到
的距離為
.
（1）求橢圓的方程和其“準圓”方程；
（2）設橢圓短軸的一個端點為
，長軸的一個端點為
，點
是“準圓”上一動點，求三角形
面積的最大值.
【答案】（1）
， 
.（2）
【解析】
（1）根據焦點為
，短軸上的一個端點到
的距離為
,得到
,可得
,進而可得其“準圓”方程；
（2）寫出直線
方程，由題知要使得三角形
面積最大，則過點
的直線與直線平行且于圓相切，求出過并且與圓相切的直線，選取離直線更遠的那條直線，求出兩直線的距離，利用面積公式可得三角形面積的最大值．
解：（1）由題可知
，
橢圓方程為，
準圓方程為.
（2）設橢圓短軸的一個端點為
，長軸的一個端點為
，
那么直線方程為
，即
要使得三角形面積最大，則過點的直線與直線平行且與圓相切.
設過點的直線
：
，
因為直線與圓相切，所以
.
所以
，
當
時，直線距離直線更遠，此時三角形面積最大，
即直線：
此時直線與直線的距離為
所以三角形面積最大值
輕松暑假總復習系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
的內角
、
、
的對邊分別為
、
、
，
為內一點，若分別滿足下列四個條件：
①
；
②
；
③
；
④
；
則點分別為的（ ）
A.外心、內心、垂心、重心B.內心、外心、垂心、重心
C.垂心、內心、重心、外心D.內心、垂心、外心、重心
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】給出以下三個命題：
①若
，則
；
②在
中，若
，則
；
③在一元二次方程
中，若
，則方程有實數根．
其中原命題、逆命題、否命題、逆否命題均為真命題的是________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一次考試中，五名學生的數學、物理成績如下表所示：
學生 | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 |
數學(x分) | 89 | 91 | 93 | 95 | 97 |
物理(y分) | 87 | 89 | 89 | 92 | 93 |
（1）要從5名學生中選2人參加一項活動，求選中的學生中至少有一人的物理成績高于90分的概率；
（2）請在所給的直角坐標系中畫出它們的散點圖，并求這些數據線性回歸方程
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市政府為了節約生活用電，計劃在本市試行居民生活用電定額管理，即確定一戶居民月用電量標準a，用電量不超過a的部分按平價收費，超出a的部分按議價收費
為此，政府調查了100戶居民的月平均用電量
單位：度
，以
，
，
，
，
，
分組的頻率分布直方圖如圖所示．
根據頻率分布直方圖的數據，求直方圖中x的值并估計該市每戶居民月平均用電量
的值；
用頻率估計概率，利用的結果，假設該市每戶居民月平均用電量X服從正態分布
估計該市居民月平均用電量介于
度之間的概率；
利用的結論，從該市所有居民中隨機抽取3戶，記月平均用電量介于度之間的戶數為
，求的分布列及數學期望
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某商家在某一天統計前5名顧客掃微信紅包所得金額分別為5.9元，5.7元，4.7元，3.3元，2.1元，商家從這5名顧客中隨機抽取3人贈送禮品.
（Ⅰ）求獲得禮品的3人中恰好有2人的紅包超過5元的概率；
（Ⅱ）商家統計一周內每天使用微信支付的人數
與每天的凈利潤
（單位：元），得到如下表：
| 12 | 16 | 22 | 25 | 26 | 29 | 30 |
| 60 | 100 | 210 | 240 | 150 | 270 | 330 |
根據表中數據用最小二乘法求與的回歸方程
（
，
的計算結果精確到小數點后第二位）并估計使用微信支付的人數增加到36人時，商家當天的凈利潤為多少（計算結果精確到小數點后第二位）？
參考數據及公式：
①
，
；
；
②回歸方程：（其中
，
）
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