Question

如圖，拋物線的頂點O在坐標原點，焦點在y軸負半軸上．
過點M（0，-2）作直線l與拋物線相交于A，B兩點，且滿足．
（Ⅰ）求直線l和拋物線的方程；
（Ⅱ）當拋物線上一動點P從點A向點B運動時，求△ABP面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意設出直線和拋物線的方程，聯立方程用根與系數法和向量相等求出p，k的值；
（Ⅱ）由題意AB為定長，只要AB邊上的高最大，則三角形的面積最大；過點P的切線與l平行時，△APB得面積最大，求出P點的坐標，再求P點到直線AB的距離和AB的長，再求出面積．
解答：解：（Ⅰ）根據題意可設直線l的方程為y=kx-2，拋物線方程為x²=-2py（p＞0） （2分）
有得x²+2pkx-4p=0 （3分）
設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則x₁+x₂=-2pk，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4=-2pk²-4
∴（4分）
∵，
∴，解得（5分）
故直線l的方程為y=2x-2，拋物線方程為x²=-2y． （6分）
（Ⅱ）據題意，當拋物線過點P的切線與l平行時，△APB得面積最大（7分）
設點P（x，y），由y'=-x，故由-x=2得x=-2，則
∴P（-2，-2） （9分）
∴點P到直線l的距離（10分）
由，得x²+4x-4=0 （11分）
∴（12分）
∴△ABP的面積的最大值為（14分）
點評：本題為直線與拋物線的綜合問題，常用的方法聯立直線及拋物線的方程，再利用韋達定理求解，本題還用數形結合思想求最大值，考查了運算能力和數形結合思想．