Question

（本小題滿分12分）如圖，拋物線的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，過(guò)點(diǎn)M（0，-2）作直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且滿足=(-4,-12).

 

（1）求直線l和拋物線的方程；

（2）當(dāng)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P在點(diǎn)A和B之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，求ΔABP面積的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）直線方程為y=2x-2,拋物線方程為

（2）最大值為。

 

【解析】解：（1）根據(jù)題意可設(shè)直線l的方程為y=kx-2。------（1）

拋物線方程為。-----（2）

（1），（2）聯(lián)立得，。

設(shè)點(diǎn)A()，B（），則，。

所以=（-4，-12）

所以解得p=1,k=2

故直線方程為y=2x-2,拋物線方程為

（2）根據(jù)題意，當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)P的切線與l平行時(shí)，ΔABP的面積最大。

設(shè)點(diǎn)P（x₀,y₀），因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051811430800004966/SYS201205181144052187185311_DA.files/image011.png">，則，解得，又，所以P(-2,-2)。此時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離。

由，得。

則，所以。

故ΔABP面積的最大值為。