Question

（2011•廣東模擬）已知數列{x_n}的前n項和為S_n滿足Sn+1=Sn+

1

1+xn

，S1=

1

2n

    n∈N+
（I）猜想數列{x_2n}的單調性，并證明你的結論；
（Ⅱ）對于數列{u_n}若存在常數M＞0，對任意的n∈N⁺，恒有|u_n+1-u_n|+|u_n-u_n-1|+-+|u₂-u₁|≤M則稱數列{U_n}為B-數列．問數列{x_n}是B-數列嗎？并證明你的結論．

Answer 1

分析：（I）由已知得x1=

1

2

，xn+1=

1

1+xn

，∴x2=

2

3

，x3=

3

5

，x4=

5

8

，猜想數列{x_2n}是遞減數列，再用數學歸納法證明；
（Ⅱ）利用定義尋找使得不等式成立的M的值，從而先去證明|x_n+1-x_n|≤

1

6

×(

2

5

)n-1，從而可判斷．

解答：解：（I）由已知得x1=

1

2

，xn+1=

1

1+xn

，∴x2=

2

3

，x3=

3

5

，x4=

5

8

，猜想數列{x_2n}是遞減數列（3分）
下面用數學歸納法證明：
（1）當n=1時，已證命題成立（2）假設當n=k時命題成立，即x_2k＞x_2k+2
易知x_2k＞0，那么x2k+2-x2k+4=

1

1+x2k+1

-

1

1+x2k+3

＞0即x_2（k+1）＞x_2（k+1）+2
也就是說，當n=k+1時命題也成立，結合（1）和（2）知，命題成立（6分）
（Ⅱ）數列{x_n}是B-數列．（7分）
當n=1時，|x_n+1-x_n|=|x₂-x₁|=

1

6

，（8分）
當n≥2時，易知0＜x_n-1＜1，∴1+xn-1＜2，xn＞

1

2

（9分）
∴(1+xn)(1+xn-1)=2+xn-1≥

5

2

（10分）
∴|x_n+1-x_n|=|

1

1+xn

-

1

1+xn-1

|=|x_n-x_n-1|×

1

(1+xn)(1+xn-1

)≤

2

5

|x_n-x_n-1|≤-≤

1

6

×(

2

5

)n-1（12分）
∴|x_n+1-x_n|+|x_n-x_n-1|+-+|x₂-x₁|≤

1

6

×

1-( 2 5 )n

1- 2 5

＜

5

18

所以數列{x_n}是B-數列．（13分）

點評：本題（1）中的證明要用到數學歸納法，數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數n都成立．