Question

【題目】已知兩定點，，點P是平面內的動點，且，記動點P的軌跡W.

（1）求動點P的軌跡W的方程；

（2）過點作兩條相垂直的直線分別交軌跡于G，H，M，N四點.設四邊形GMHN面積為S，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設點，由，逐步化簡可得，

，即可得到本題答案；

（2）分直線斜率不存在和不存在兩種情況考慮，當直線斜率存在時，因為，聯立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理，將用k表示出來，逐步化簡，即可得到本題答案.

解：（1）設，則，

則，

由于，即，設，，則，則P點的軌跡是以，為焦點且長軸長為4的橢圓，

所以，動點P的軌跡W的方程為：；

（2）當、其中一條直線斜率不存在時，另一條斜率為零，不妨設斜率不存在，則，，故；

當、兩直線斜率都存在時，則設、的斜率分別為k、，則：，

設的方程為：，由得：，

易知恒成立，設，，則，，

故：，

同理得：，

由題：四邊形GMHN面積，故：

令，則

故：，則的取值范圍為