Question

已知圓C：x²+（y-3）²=4，一動直線l過A（-1，0）與圓C相交于P、Q兩點，M是PQ中點，l與直線m：x+3y+6=0相交于N．
（Ⅰ）求證：當l與m垂直時，l必過圓心C；
（Ⅱ）當時，求直線l的方程；
（Ⅲ）探索是否與直線l的傾斜角有關，若無關，請求出其值；若有關，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由圓的方程找出圓心坐標和圓的半徑，根據兩直線垂直時斜率的乘積為-1，由直線m的斜率求出直線l的斜率，根據點A和圓心坐標求出直線AC的斜率，得到直線AC的斜率與直線l的斜率相等，所以得到直線l過圓心；
（Ⅱ）分兩種情況：①當直線l與x軸垂直時，求出直線l的方程；②當直線l與x軸不垂直時，設直線l的斜率為k，寫出直線l的方程，根據勾股定理求出CM的長，然后利用點到直線的距離公式表示出圓心到所設直線l的距離d，讓d等于CM，列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，寫出直線l的方程即可；
（Ⅲ）根據CM⊥MN，得到•等于0，利用平面向量的加法法則化簡等于•，也分兩種情況：當直線l與x軸垂直時，求得N的坐標，分別表示出和，求出兩向量的數量積，得到其值為常數；當直線l與x軸不垂直時，設出直線l的方程，與直線m的方程聯立即可求出N的坐標，分別表示出和，求出兩向量的數量積，也得到其值為常數．綜上，得到與直線l的傾斜角無關．
解答：解：（Ⅰ）∵直線l與直線m垂直，且，
∴k_l=3，又k_AC=3，
所以當直線l與m垂直時，直線l必過圓心C；
（Ⅱ）①當直線l與x軸垂直時，易知x=-1符合題意，
②當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y=k（x+1），即kx-y+k=0，
因為，所以，
則由，得，
∴直線l：4x-3y+4=0．
從而所求的直線l的方程為x=-1或4x-3y+4=0；
（Ⅲ）因為CM⊥MN，
∴，
當直線l與x軸垂直時，易得，
則，又，
∴，
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x+1），
則由，得N（，），
則，
∴=，
綜上，與直線l的斜率無關，且．
點評：此題考查學生掌握兩直線垂直時斜率滿足的條件，靈活運用平面向量的數量積的運算法則化簡求值，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，會利用分類討論的數學思想解決實際問題，是一道綜合題．