Question

【題目】如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,點M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD成30°的角.

求證:(1)CM∥平面PAD.

(2)平面PAB⊥平面PAD.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

建立空間直角坐標系.(1)可證明與平面PAD的法向量垂直;也可將分解為平面PAD內的兩個向量的線性組合,利用共面向量定理證明.

(2)取AP中點E,利用向量證明BE⊥平面PAD即可.

【證明】由題意可知:

以C為坐標原點,CB所在直線為x軸,CD所在直線為y軸,CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz.

∵PC⊥平面ABCD,

∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角,

∴∠PBC=30°.

∵PC=2,∴BC=2,PB=4.

∴D(0,1,0),B(2,0,0),

A(2,4,0),P(0,0,2),M(,0,),

∴=(0,-1,2),=(2,3,0),

=(,0,).

(1)方法一:令n=(x,y,z)為平面PAD的一個法向量,則

即∴

令y=2,得n=(-,2,1).

∵n·=-×+2×0+1×=0,

∴n⊥.又CM平面PAD,

∴CM∥平面PAD.

方法二:∵=(0,1,-2),=(2,4,-2),

假設∥平面PAD,

則存在x0,y0使=x0+y0,則

方程組的解為

∴=-+.

由共面向量定理知與,共面,故假設成立.

又∵CM平面PAD,

∴CM∥平面PAD.

(2)取AP的中點E,連接BE,則E(,2,1),

=(-,2,1).

易知PB=AB,∴BE⊥PA.

又∵·=(-,2,1)·(2,3,0)=0,

∴⊥,∴BE⊥DA.又PA∩DA=A,

∴BE⊥平面PAD.

又∵BE平面PAB,

∴平面PAB⊥平面PAD.