Question

（本小題滿分12分）
如圖所示，在直棱柱中，，，的中點.

（1）求證：∥；
（2）求證：；
（3）在上是否存在一點，使得，若存在，試確定的位置，并判斷與平面是否垂直？若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）證明：如圖，連結，與交于，則為的中點，連結，又為的中點，∥，又平面平面，∥平面.
（2）證明：由平行四邊形為菱形，得.又由線面垂直得出.在直三棱柱中，.
（3）分別為的中點，∥..
，.

試題分析：（1）證明：如圖，連結，與交于，則為的中點，連結，又為的中點，∥，又平面平面，∥平面.
（2）證明：平行四邊形為菱形，.又.又在直三棱柱中，.
（3）設，由于，在中，有
.
在中，由余弦定理得，
即，
，即分別為的中點，∥..
，.
點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，利用向量則能簡化證明過程。本題（3），利用代數方法，達到證明目的。