Question

(14分)如圖，在直角梯形中，，，，橢圓以、為焦點且經過點．

（Ⅰ）建立適當的直角坐標系，求橢圓的方程；

（Ⅱ）若點滿足,問是否存在直線與橢圓交于兩點，且？若存在，求出直線 與夾角的正切值的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解析：（Ⅰ）如圖，以所在直線為軸，的垂直平分線為軸建立直角坐標系

則，，，                      ………2分

設橢圓方程為

則

解得………………4分

∴所求橢圓方程為                                …………………5分

（Ⅱ）由得點的坐標為

顯然直線 與軸平行時滿足題意，即                        …………6分

直線 與軸垂直時不滿足題意

不妨設直線                                   ……………7分

由     得  ………9分

由   得 ………10分

設，,的中點為

則，            ………11分

∵

∴

∴    即

解得：                                              ………………12分

由   得   且 …………13分

故直線 與夾角的正切值的取值范圍是     ……………14分