Question

（本小題滿分13分）
已知拋物線的焦點在軸上，拋物線上一點到準線的距離是，過點的直線與拋物線交于，兩點，過，兩點分別作拋物線的切線，這兩條切線的交點為．
（Ⅰ）求拋物線的標準方程；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求證：是和的等比中項．

Answer 1

（1）（2）0（3）略

（Ⅰ）解：由題意可設拋物線的方程為．
因為點在拋物線上，所以．
又點到拋物線準線的距離是，所以，可得．
所以拋物線的標準方程為．………………………………………………3分
（Ⅱ）解：點為拋物線的焦點，則．
依題意可知直線不與軸垂直，所以設直線的方程為．
由  得．
因為過焦點，所以判別式大于零．
設，．
則，．……………………………………………………6分
．
由于，所以．
切線的方程為，         ①
切線的方程為．        ②
由①，②，得．…………………………………8分
則．
所以．………………………10分
（Ⅲ）證明：．
由拋物線的定義知 ，．
則
．
所以．
即是和的等比中項．…………………………………………………13分