Question

已知函數f(x)=x3+x-16.

(1)求曲線y=f(x)在點(2,-6)處的切線方程.

(2)如果曲線y=f(x)的某一切線與直線y=-x+3垂直,求切點坐標與切線的方程.

 

Answer 1

(1) y=13x-32 (2) 切點坐標為(1,-14)或(-1,-18) y=4x-18或y=4x-14

【解析】(1)可判定點(2,-6)在曲線y=f(x)上.

∵f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1,

∴在點(2,-6)處的切線的斜率為k=f'(2)=13,

∴切線的方程為y=13(x-2)+(-6),

即y=13x-32.

(2)∵切線與直線y=-x+3垂直,

∴切線的斜率k=4.

設切點的坐標為(x0,y0),則f'(x0)=3+1=4,

∴x0=±1,

∴或

∴切點坐標為(1,-14)或(-1,-18),

切線方程為y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.

即y=4x-18或y=4x-14.