Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知四邊形AA1C1C為矩形，AA1＝6，AB＝AC＝4，∠BAC＝∠BAA1＝60°，∠A1AC的角平分線AD交CC1于D.

（1）求證：平面BAD⊥平面AA1C1C；

（2）求二面角A﹣B1C1﹣A1的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）過點D作DE∥AC交AA1于E，連接CE，BE，設AD∩CE＝O，連接BO，推導出DE⊥AE，四邊形AEDC為正方形，CE⊥AD，推導出△BAC≌△BAE，從而BC＝BE，CE⊥BO，從而CE⊥平面BAD，由此能證明平面BAD⊥平面AA1C1C.

（2）推導出BO⊥AD，BO⊥CE，從而BO⊥平面AA1C1C，建立空間直角坐標系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣B1C1﹣A1的余弦值.

解：（1）如圖，過點D作DE∥AC交AA1于E，連接CE，BE，

設AD∩CE＝O，連接BO，∵AC⊥AA1，∴DE⊥AE，

又AD為∠A1AC的角平分線，∴四邊形AEDC為正方形，∴CE⊥AD，

又∵AC＝AE，∠BAC＝∠BAE，BA＝BA，∴BAC≌BAE，∴BC＝BE，

又∵O為CE的中點，∴CE⊥BO，

又∵AD，BO平面BAD，AD∩BO＝O，∴CE⊥平面BAD.

又∵CE平面AA1C1C，∴平面BAD⊥平面AA1C1C.

（2）在ABC中，∵AB＝AC＝4，∠BAC＝60°，∴BC＝4，

在RtBOC中，∵，∴，

又AB＝4，，∵BO2+AO2＝AB2，∴BO⊥AD，

又BO⊥CE，AD∩CE＝O，AD，CE平面AA1C1C，∴BO⊥平面AA1C1C，

故建立如圖空間直角坐標系O﹣xyz，

則A（2，﹣2，0），A1（2，4，0），C1（﹣2，4，0），，

∴，，，

設平面AB1C1的一個法向量為，

則，∴，

令x1＝6，得，

設平面A1B1C1的一個法向量為，

則，∴，

令，得，

∴，

故二面角A﹣B1C1﹣A1的余弦值為.