Question

【題目】已知函數f（x）=2acos2x+2 bsinxcosx，且f（0）=2，f（ ）= +1．
（1）求f（x）的最大值及單調遞減區間；
（2）若α≠β，α，β∈（0，π），且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= ；

∴f（0）=2a=2；

∴a=1；

又 ；

∴b=1；

∴ = ；

∴ ，即 時，f（x）取得最大值3；

令 得， ；

∴f（x）的單調遞減區間為

（2）解：由f（α）=f（β）得， ；

∵α≠β，α，β∈（0，π）；

∴ ， ；

∴ ，或3π；

∴ ，或 ；

∴

【解析】（1）根據二倍角公式可以化簡f（x）得到f（x）= ，根據f（0）=2， 便可求出a=1，b=1，從而得出 ，容易得到f（x）的最大值為3，而根據正弦函數的單調性便可得出該函數的單調遞減區間；（2）根據條件得到 ，而 ，且 ，從而便可得到 ，或3π，進一步便可得出α+β的值，從而可求出tan（α+β）的值．