Question

對(duì)任意復(fù)數(shù)z=x+yi(x、y∈R)，定義g(z)=3^x(cosy+isiny).

(1)若g(z)=3，求相應(yīng)的復(fù)數(shù)z.

（2）若z=a+bi(a、b∈R)中的a為常數(shù)，則令g(z)=f(b)，對(duì)任意b，是否一定有常數(shù)m(m≠0)使得f(b+m)=f(b)？這樣的m是否唯一？說(shuō)明理由.

（3）計(jì)算g(2+i),g(-1+i),g(1+i)，并設(shè)立它們之間的一個(gè)等式.

Answer 1

思路解析：將復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題來(lái)研究是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的一種重要思想方法，而實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的橋梁是復(fù)數(shù)相等的條件.此外本題涉及到三角函數(shù)的運(yùn)算.

解：（1）由得則

    故z=1+2kπi,k∈Z.

（2）由f(b+m)=f(b)，得

即∴m=2kπ,k∈Z.∴m是不唯一的.

（3）∵g(2+i)=9(+i)，g(-1+i)=(+i)，g(1+i)=3i,

∴g(2+i)g(-1+i)=g(1+i).