Question

（2012•開封二模）（選做題）已知f（x）=|x+1|+|x-1|，不等式f（x）＜4的解集為M．
（1）求M；
（2）當a，b∈M時，證明：2|a+b|＜|4+ab|．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將函數寫成分段函數，再利用f（x）＜4，即可求得M；
（Ⅱ）利用作差法，證明4（a+b）²-（4+ab）²＜0，即可得到結論．

解答：（Ⅰ）解：f（x）=|x+1|+|x-1|=

-2x，x＜-1 2，-1≤x≤1 2x，x＞1

當x＜-1時，由-2x＜4，得-2＜x＜-1；
當-1≤x≤1時，f（x）=2＜4；
當x＞1時，由2x＜4，得1＜x＜2．
所以M=（-2，2）．…（5分）
（Ⅱ）證明：當a，b∈M，即-2＜a，b＜2，
∵4（a+b）²-（4+ab）²=4（a²+2ab+b²）-（16+8ab+a²b²）=（a²-4）（4-b²）＜0，
∴4（a+b）²＜（4+ab）²，
∴2|a+b|＜|4+ab|．…（10分）

點評：本題考查絕對值函數，考查解不等式，考查不等式的證明，解題的關鍵是將不等式寫成分段函數，利用作差法證明不等式．