Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當x∈[1，4]時，求函數(shù)的值域；

（2）如果對任意的x∈[1，4]，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍

Answer 1

【答案】（1） [0，2]. （2） （－∞，－3）.

【解析】

試題分析：（1） 令t＝log2x，則函數(shù)h（x）轉(zhuǎn)化為關(guān)于t 的二次函數(shù)：h（x）＝－2（t－1）2＋2 ，根據(jù)x∈[1，4]，得t∈[0，2]，結(jié)合對稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系確定函數(shù)最值和值域（2） 令t＝log2x，則（3－4t）（3－t）>k·t對一切t∈[0，2]恒成立，當t＝0時，k∈R；當t∈（0，2]時，利用變量分離法轉(zhuǎn)化為對應函數(shù)最值：最小值，根據(jù)基本不等式求最值：即得實數(shù)k的取值范圍

試題解析：（1）h（x）＝（4－2log2x）·log2x＝－2（log2x－1）2＋2，

因為x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，

故函數(shù)h（x）的值域為[0，2].

（2）由f（x2）·f（）>k·g（x），

得（3－4log2x）（3－log2x）>k·log2x，

令t＝log2x，因為x∈[1，4]，所以t＝log2x∈[0，2]，

所以（3－4t）（3－t）>k·t對一切t∈[0，2]恒成立，

①當t＝0時，k∈R；

②當t∈（0，2]時，恒成立，即，因為，當且僅當即時取等號，所以的最小值為－3，

綜上，k∈（－∞，－3）.