Question

【題目】（原創題）已知點是橢圓和拋物線 的公共焦點， 是橢圓的長軸的兩個端點，點是與 在第二象限的交點，且.

(I) 求橢圓 的方程；

(II) 點為直線上的動點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為.直線交橢圓 于兩點，設△的面積為，△的面積為，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（I）由拋物線的定義可得的的坐標，從而求得，由橢圓的定義可得，結合，可得橢圓方程；(II)，利用導數的幾何意義，可得 ，，求得聯立 消去得，由韋達定理、弦長公式以及三角形面積公式可得，利用基本不等式可得結果.

（I）易知，所以焦點，橢圓的另一焦點為

由拋物線定義知，

從而，

由兩點間距離公式可得

又由橢圓定義得：,

∴，

故所求橢圓方程為：

(II)由對稱性，不妨設，

再設 ,

由得,

①

②

由①②解得

所以有： ③

④

由點斜式得⑤

③④代入⑤得：

聯立 消去得，

又設 ，

則，

到之間的距離為，

，

當且僅當時，.