Question

已知銳角△ABC中的三個內角分別為A，B，C．
（1）設

BC

•

CA

=

CA

•

AB

，求證：△ABC是等腰三角形；
（2）設向量

s

=（2sinC，-

3

），

t

=（cos2C，2cos²

C

2

-1），且

s

∥

t

，若sinA=

2

3

，求sin（

π

3

-B）的值．

Answer 1

分析：（1）由已知可得

CA

•(

BC

-

AB

)=0，結合三角形的知識可得

CA

=-(

AB

+

BC

)，代入可證|

AB

|2=|

BC

|2，即|

AB

|=|

BC

|，從而可證
（2）由

s

∥

t

，根據向量平行的坐標表示可得2sinC(2cos2

C

2

-1)=-

3

cos2C，整理可得tan2C=-

3

結合已知C的范圍可求C=

π

3

，根據三角形的內角和可得，A=

2π

3

-B，從而有sin(

π

3

-B)=sin[(

2π

3

-B)-

π

3

]=sin(A-

π

3

)，又sinA=

2

3

，且A為銳角，可得cosA=

5

3

，利用差角公式可求

解答：解：（1）因為

BC

•

CA

=

CA

•

AB

，所以

CA

•(

BC

-

AB

)=0，又

AB

+

BC

+

CA

=0，所以

CA

=-(

AB

+

BC

)，所以-(

AB

+

BC

)•(

BC

-

AB

)=0，所以

AB

2-

BC

2=0，（4分）
所以|

AB

|2=|

BC

|2，即|

AB

|=|

BC

|，故△ABC為等腰三角形．（6分）
（2）∵

s

∥

t

，∴2sinC(2cos2

C

2

-1)=-

3

cos2C
∴sin2C=-

3

cos2C，即tan2C=-

3

，∵C為銳角，∴2C∈（0，π），
∴2C=

2π

3

，∴C=

π

3

．（8分）
∴A=

2π

3

-B，∴sin(

π

3

-B)=sin[(

2π

3

-B)-

π

3

]=sin(A-

π

3

)．（10分）
又sinA=

2

3

，且A為銳角，∴cosA=

5

3

，（12分）
∴sin(

π

3

-B)=sin(A-

π

3

)=sinAcos

π

3

-cosAsin

π

3

=

2- 15

6

．（14分）

點評：平面向量與三角函數結合的試題是高考近幾年的熱點之一，而通常是以平面向量的數量積為工具，結合三角公式最終轉化為三角函數形式，結合三角函數的性質．屬于基礎知識的簡單綜合試題．