Question

已知銳角△ABC中的三個內角分別為A，B，C．
（1）設

BC

•

CA

=

CA

•

AB

，求證△ABC是等腰三角形；
（2）設向量

s

=(2sinC，-

3

)，

t

=(cos2C，2cos2

C

2

-1)，且

s

∥

t

，若sinA=

12

13

，求sin(

π

3

-B)的值．

Answer 1

分析：（1）利用

BC

•

CA

=

CA

•

AB

，推出

AB

2-

BC

2=0，得到|

AB

|=|

BC

|，即可證明△ABC是等腰三角形；
（2）利用

s

∥

t

，求出C的值，通過sinA=

12

13

，求出cosA，然后利用兩角差的正弦函數求sin(

π

3

-B)的值．

解答：解：（1）因為

BC

•

CA

=

CA

•

AB

，所以

CA

•(

BC

-

AB

)=0，
又

AB

+

BC

+

CA

=0，
所以

CA

=-(

AB

+

BC

)，所以-(

AB

+

BC

)•(

BC

-

AB

)=0，
所以

AB

2-

BC

2=0，（4分）
所以|

AB

|2=|

BC

|2，即|

AB

|=|

BC

|，故△ABC為等腰三角形．          （6分）
（2）∵

s

∥

t

，∴2sinC（2cos2

C

2

-1）=-

3

cos2C，
∴sin2C=-

3

cos2C，即tan2C=-

3

，
∵C為銳角，∴2C∈（0，π），
∴2C=

2π

3

，∴C=

π

3

．       （8分）
∴A=

2π

3

-B，
∴sin(

π

3

-B)=sin[(

2π

3

-B)-

π

3

]=sin(A-

π

3

)．         （10分）
又sinA=

12

13

，且A為銳角，∴cosA=

5

13

，（12分）
∴sin(

π

3

-B)=sin(A-

π

3

)=sinAcos

π

3

-cosAsin

π

3

=

12-5 3

26

．              （14分）

點評：本題考查向量的數量積與向量的平行的應用，兩角和與差的三角函數，注意角的范圍的確定是解題的關鍵，考查計算能力．