Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點．
（1）證明MN∥平面PAB；
（2）求四面體N﹣BCM的體積．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：取BC中點E，連結EN，EM，

∵N為PC的中點，∴NE是△PBC的中位線，

∴NE∥PB，

又∵AD∥BC，∴BE∥AD，

∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，

∴BE= BC=AM=2，

∴四邊形ABEM是平行四邊形，

∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，

∵MN平面NEM，∴MN∥平面PAB

（2）

解：

取AC中點F，連結NF，

∵NF是△PAC的中位線，

∴NF∥PA，NF= =2，

又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，

如圖，延長BC至G，使得CG=AM，連結GM，

∵AM CG，∴四邊形AGCM是平行四邊形，

∴AC=MG=3，

又∵ME=3，EC=CG=2，

∴△MEG的高h= ，∴S△BCM= ，∴四面體N﹣BCM的體積VN﹣BCM= = .

【解析】（1）取BC中點E，連結EN，EM，得NE是△PBC的中位線，推導出四邊形ABEM是平行四邊形，由此能證明MN∥平面PAB．（2）取AC中點F，連結NF，NF是△PAC的中位線，推導出NF⊥面ABCD，延長BC至G，使得CG=AM，連結GM，則四邊形AGCM是平行四邊形，由此能求出四面體N﹣BCM的體積．；本題考查線面平行的證明，考查四面體的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．