Question

如圖,經過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB,AC,根據規劃擬在兩條公路之間的區域內建一工廠P,分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M、N (異于村莊A),要求PM＝PN＝MN＝2(單位：千米).如何設計, 可以使得工廠產生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠)．

Answer 1

參考解析

試題分析：假設角AMN的值為θ，由三角形AMN中角NAM為.由正弦定理可得到AM的表達式，在三角形AMP中利用余弦定理表示出AP的值，由角θ的取值范圍，再根據三角函數的單調性知識即可得到結論.本小題用了五種解法分別從三角，坐標系，圓等方面入手.
解法一：設∠AMN＝θ，在△AMN中，＝．
因為MN＝2,所以AM＝sin(120°－θ）．       2分
在△APM中,cos∠AMP＝cos(60°＋θ).       4分
AP²＝AM²＋MP²－2 AM·MP·cos∠AMP＝sin²(120°－θ)＋4－2×2×sin(120°θ）cos(60°＋θ）                   6分
＝sin²(θ＋60°)－sin(θ＋60°）cos(θ＋60°)＋4
＝[1－cos (2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4
＝－[sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋
＝－sin(2θ＋150°),θ∈(0,120°)．              10分
當且僅當2θ＋150°＝270°,即θ＝60°時,AP²取得最大值12,即AP取得最大值2.
答：設計∠AMN為60°時,工廠產生的噪聲對居民的影響最小．       12分

解法二(構造直角三角形)：
設∠PMD＝θ,在△PMD中,
∵PM＝2,∴PD＝2sinθ,MD＝2cosθ.     2分
在△AMN中,∠ANM＝∠PMD＝θ,∴＝,
AM＝sinθ,∴AD＝sinθ＋2cosθ,(θ≥時,結論也正確).     4分
AP²＝AD²＋PD²＝(sinθ＋2cosθ)²＋(2sinθ)²
＝sin²θ＋sinθcosθ＋4cos²θ＋4sin²θ             6分
＝·＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋
＝＋sin(2θ－),θ∈(0,).          10分
當且僅當2θ－＝，即θ＝時，AP²取得最大值12，即AP取得最大值2．
此時AM＝AN＝2,∠PAB＝30°            12分
解法三：設AM＝x,AN＝y,∠AMN＝α.
在△AMN中,因為MN＝2,∠MAN＝60°,
所以MN²＝AM²＋AN²－2 AM·AN·cos∠MAN,
即x²＋y²－2xycos60°＝x²＋y²－xy＝4.          2分
因為＝,即＝,
所以sinα＝y,cosα＝＝＝.         4分
cos∠AMP＝cos(α＋60°)＝cosα－sinα＝·－·y＝. 6分
在△AMP中,AP²＝AM²＋PM²－2 AM·PM·cos∠AMP,
即AP²＝x²＋4－2×2×x×＝x²＋4－x(x－2y)＝4＋2xy.        10分
因為x²＋y²－xy＝4,4＋xy＝x²＋y²≥2xy,即xy≤4.
所以AP²≤12,即AP≤2.
當且僅當x＝y＝2時,AP取得最大值2.        
答：設計AM＝AN＝2 km時,工廠產生的噪聲對居民的影響最小．      12分
解法四(坐標法)：以AB所在的直線為x軸,A為坐標原點,建立直角坐標系.
設M(x₁,0),N(x₂, x₂),P(x₀,y₀).∵MN＝2,
∴(x₁－x₂)²＋3x₂²＝4.          2分
MN的中點K(,x₂)．
∵△MNP為正三角形,且MN＝2,∴PK＝,PK⊥MN,
∴PK²＝(x₀－)²＋(y₀－x₂)²＝3,
k_MN·k_PK＝－1,即·＝－1,      4分
∴y₀－x₂＝ (x₀－),∴(y₀－x₂)²＝ (x₀－)²
∴(1＋)(x₀－)²＝3,即 (x₀－)²＝3,∴(x₀－)²＝x₂²．
∵x₀－＞0  ∴x₀－＝x₂,
∴x₀＝x₁＋2x₂,∴y₀＝x₁．                          6分
∴AP²＝x₀²＋y₀²＝(2x₂＋x₁)²＋x₁²＝x₁²＋4x₂²＋2x₁x₂
＝4＋4x₁x₂≤4＋4×2＝12,        10分
即AP≤2.
答：設計AM＝AN＝2 km時,工廠產生的噪聲對居民的影響最小．   12分

解法五(幾何法)：由運動的相對性,可使△PMN不動,點A在運動.
由于∠MAN＝60°,∴點A在以MN為弦的一段圓弧(優弧)上,   4分
設圓弧所在的圓的圓心為F，半徑為R，
由圖形的幾何性質知：AP的最大值為PF＋R.  6分
在△AMN中,由正弦定理知：＝2R,
∴R＝,    8分
∴FM＝FN＝R＝,又PM＝PN,∴PF是線段MN的垂直平分線.
設PF與MN交于E，則FE²＝FM²－ME²＝R²－1²＝．
即FE＝，又PE＝.   10
∴PF＝,∴AP的最大值為PF＋R＝2.            
答：設計AM＝AN＝2 km時，工廠產生的噪聲對居民的影響最小．       12分