Question

【題目】已知，.

（1）令，求證：有唯一的極值點；

（2）若點為函數上的任意一點，點為函數上的任意一點，求、兩點之間距離的最小值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）求出函數的導數，利用函數的單調性以及零點存在定理，說明函數在定義域上有唯一零點，再分析函數在該零點處函數值符號，可得證函數有唯一極值點；

（2）根據函數與關于直線，將直線平移后與分別與曲線、切于、，由此可得出的最小值.

（1）由題意知，所以，

由單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，

又，，

所以存在唯一的，使得，

當時，，函數單調遞減；

當時，，函數單調遞增；

因此，函數有唯一的極值點；

（2）由于與互為反函數，兩個函數圖象關于直線對稱，

如下圖，

將直線平移使得平移后的直線與函數的圖象相切，，

令，，可得點.

將直線平移使得平移后的直線與函數的圖象相切，，

令，，可得點，

因此，、兩點間距離的最小值為.