Question

已知數列、滿足：.
(1)求；
(2) 證明數列為等差數列，并求數列和的通項公式；
(3)設，求實數為何值時恒成立。

Answer 1

（1) ；
（2）；
(3)≤1時，恒成立 。

試題分析：（1) ∵     ∴. 4分
（2）∵
∴，
∴
∴數列{}是以4為首項，1為公差的等差數列           6分
∴  
  ∴      8分
(3)  
∴
∴          10分
由條件可知恒成立即可滿足條件
設
當時，恒成立,
當時，由二次函數的性質知不可能成立
當時，對稱軸         12分
在為單調遞減函數．

∴    ∴時恒成立           13分
綜上知：≤1時，恒成立                14分
點評：難題，本題綜合性較強，綜合考查數列的遞推公式，等差數列的通項公式，裂項相消法，數列不等式的證明。確定等差數列的通項公式，往往利用已知條件，建立相關元素的方程組，以達到解題目的。本題從遞推公式出發，研究“倒數數列”的特征，達到解題目的。涉及數列和的不等式證明問題，往往先求和、再放縮、得證明。本題通過構造函數、研究函數的最值，達到證明目的。