Question

（2012•上高縣模擬）已知f（x）是R上的偶函數，若將f（x）的圖象向左平移一個單位后，則得到一個奇函數的圖象，若f（2）=3，則f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）=

-3

．

Answer 1

分析：根據函數奇偶性的定義進行變量代換，可得出f（x）是最小正周期為4的周期函數，從而將原式化簡為：503[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]+f（2012）+f（2013）．結合題意算出f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0且f（0）+f（1）=-3．由此即可得到本題答案．

解答：解：∵將f（x）的圖象向左平移一個單位后，則得到一個奇函數的圖象，
∴函數f（x）滿足：f（-x+1）=-f（x+1）
又∵f（x）是R上的偶函數，可得f（-x+1）=f（x-1）
∴f（x-1）=-f（x+1），用x+2代替x得：f（x+1）=-f（x+3）
由此可得f（x+3）=f（x-1），再用x+1代替x得：f（x+4）=f（x）
∴函數f（x）是周期為4的周期函數
∵f（-x+1）=-f（x+1），
∴取x=0，可得f（1）=-f（1），得f（1）=0
取x=1，得f（0）=-f（2）=-3，可得f（0）+f（2）=0；
取x=2，得f（-1）=-f（3），即f（-1）+f（3）=f（1）+f（3）=0
因此，f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0
∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）
=503[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]+f（2012）+f（2013）
=f（2012）+f（2013）=f（0）+f（1）=-3
故答案為：-3

點評：本題給出抽象函數，求f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）的值．著重考查了函數的奇偶性、周期性和函數值的求法等知識，屬于中檔題．