Question

【題目】順次連接橢圓的四個頂點恰好構成了一個邊長為且面積為的菱形。

（1）求橢圓的方程；

（2），是橢圓上的兩個不同點，若直線，的斜率之積為（以為坐標原點），線段上有一點滿足，連接并延長交橢圓于點，求橢圓的值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）由菱形的面積公式可得2ab＝2，由勾股定理可得a2+b2＝3，解方程即可得到所求橢圓方程；（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），N（x3，y3），由向量的坐標表示和點滿足橢圓方程，結合直線的斜率公式，化簡變形，即可得到所求值．

（1）由題可知，，

解得，.

所以橢圓的方程為.

（2）設，，，，

∵，∴，

∴，.

又∵，∴，

即，.

∵點在橢圓上，∴，

即.

∵,在橢圓上，∴，① .②

又直線，斜率之積為，∴，即，③

將①②③代入得，解得.