Question

已知兩點(diǎn)，，曲線上的動(dòng)點(diǎn)滿足，直線與曲線交于另一點(diǎn)．
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）設(shè)，若，求直線的方程．

Answer 1

（Ⅰ）．    （Ⅱ）

本試題主要是考查了圓錐曲線方程的求解，以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。
（1）根據(jù)已知中動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的關(guān)系式可知該動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合橢圓的定義，則可以利用定義法求解軌跡方程。
(2)設(shè)出直線MN方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到韋達(dá)定理，結(jié)合題目中的三角形的面積比，可知線段的比，然后得到向量的關(guān)系式，從而結(jié)合坐標(biāo)得到結(jié)論
解：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823222437000510.png" style="vertical-align:middle;" />,，所以曲線是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓．曲線的方程為．     ……4分
（Ⅱ）顯然直線不垂直于軸，也不與軸重合或平行.  ……5分
設(shè)，直線方程為，其中.
由得.解得或.
依題意，.    ……7分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823222437858931.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，則. 
于是所以     ……9分
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以.
整理得，解得或（舍去），從而.
所以直線的方程為.