Question

【題目】已知直線l過點M（1，1），且與x軸，y軸的正半軸分別相交于A，B兩點，O為坐標原點．求：
（1）當|OA|十|OB|取得最小值時，直線l的方程；
（2）當|MA|2+|MB|2取得最小值時，直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設點A（a，0），B（0，b），且a＞0，b＞0，

直線l的方程為： + =1，

且直線l過點M（1，1），∴ + =1①；

∴a+b=（a+b）（ + ）=2+ + ≥2+2 =4，

當且僅當 = ，即a=b時取“=”，

將a=b代入①式得a=2，b=2；

∴直線l的方程為x+y﹣2=0，

即|OA|+|OB|取最小值4時，l的方程為x+y﹣2=0

（2）解：設直線方程為y﹣1=k（x﹣1）（k＜0），

則A（﹣ +1，0），B（0，1﹣k），

∴|MA|2+|MB|2=[（﹣ ）2+1]+[1+（﹣k）2]=2+k2+ ≥2+2k2 =4，

當且僅當k=﹣1時取“=”；

∴當|MA|2+|MB|2取得最小值4時，直線l的方程為y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0

【解析】（1）設出點A的坐標，寫出直線AB的方程，利用基本不等式求出a+b=|OA|+|OB|的最小值，寫出對應的直線方程；（2）設出直線方程為y﹣1=k（x﹣1）（k＜0），求出|MA|2+|MB|2的最小值，寫出對應的直線方程．
【考點精析】認真審題，首先需要了解點斜式方程(直線的點斜式方程：直線經過點，且斜率為則：)．