Question

已知f(x)=-x3+ax2-4

(a∈R)

，f′（x）是f（x）的導函數．
（1）當a=2時，求函數f（x）的單調區間；
（2）當a=2時，對任意的m∈[-1，1]，n∈[-1，1]，求f（m）+f'（n）的最小值；
（3）若?x₀∈（0，+∞），使f（x）＞0，求a取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意知f（x）=-x³+2x²-4，f′（x）=-3x²+4x，由導數解出函數的單調區間即可；
（2）可分別求f（m）、f′（n）的最小值，再求f（m）+f′（n）的最小值，
（2）存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0即尋找f（x）_max＞0的變量a的范圍．由此知可先求函數函數在（0，+∞）上的最大值，再令最大值大于0即可得到關于a的不等式，解此不等式求出它的取值范圍

解答：解：（1）由題意知f（x）=-x³+2x²-4，f′（x）=-3x²+4x
令f′（x）=0，得x=0或

4

3

令f′（x）＞0，可解得x∈（0，

4

3

），令f′（x）＜0，可解得x∈（-∞，0）∪（

4

3

，+∞），
故函數在x∈（0，

4

3

）上是增函數，在（-∞，0）與（

4

3

，+∞）上是減函數，
（2）由（1）知
當x在[-1，1]上變化時，f（x），f′（x）隨x的變化情況如下表：

∴對于m∈[-1，1]，f（m）的最小值為f（0）=-4，
∵f′（x）=-3x²+4x的對稱軸為 x =

2

3

且拋物線開口向下
∴對于n∈[-1，1]，f′（n）的最小值為f′（-1）=-7，
∴f（m）+f′（n）的最小值為-11．
（2）∵f′（x）=-3x（x-

2a

3

）
①若a≤0，當x＞0，時f′（x）＜0
∴f（x）在[0，+∞）上單調遞減，又f（0）=-4，則當x＞0時，f（x）＜-4∴當a≤0時，不存在x₀＞0，使f（x₀）＞0
②若a＞0，則當0＜x＜

2a

3

時，f′（x）＞0，
當x＞

2a

3

時，f′（x）＜0從而f（x）在（0，

2

3

]上單調遞增，在[

2a

3

，+∞）上單調遞減，
∴當x∈（0，+∞）時，f（x）_max=f（

2a

3

）=-

8a3

27

+

4a2

9

-4
根據題意，

4a3

27

-4＞0，即a³＞27，解得a＞3
綜上，a的取值范圍是（3，+∞）

點評：本題考查利用求函數單調區間，求函數的最值，及函數恒成立問題的求解，轉化的思想及推理判斷的能力，解題的關鍵是熟練掌握導數的運算，利用導數研究函數的性質的方法，本題運算量較大，易出錯，解題時要嚴謹認真，