Question

如圖，AB是圓O的直徑，C，D是圓O上兩點，AC與BD相交于點E，GC，GD是圓O的切線，點F在DG的延長線上，且DG=GF．求證：
（1）D、E、C、F四點共圓；
（2）GE⊥AB．

Answer 1

考點：圓內接多邊形的性質與判定,圓的切線的性質定理的證明

專題：幾何證明

分析：（1）如圖，連接OC，OD，則OC⊥CG，OD⊥DG，可得四點O，D，G，C共圓．設∠CAB=∠1，∠DBA=∠2，∠ACO=∠3，可得∠COB=2∠1，∠DOA=2∠2．于是∠DGC=180°-∠DOC=2（∠1+∠2）．利用切線長定理可得DG=CG，而DG=GF，可得GF=GC．從而可得∠F=∠1+∠2．可得∠DEC+∠F=180°，即可證明．
（2）延長GE交AB于H．由GD=GC=GF，可得點G是經過D，E，C，F四點的圓的圓心．可得GE=GC，∠GCE=∠GEC．又∠GCE+∠3=90°，∠1=∠3，可得∠AEH+∠1=90°，進而得出證明．

解答：解：（1）如圖，連接OC，OD，則OC⊥CG，OD⊥DG，
∴四點O，D，G，C共圓．
設∠CAB=∠1，∠DBA=∠2，∠ACO=∠3，
∠COB=2∠1，∠DOA=2∠2．
∴∠DGC=180°-∠DOC=2（∠1+∠2）．
∵DG=GF，DG=CG．
∴GF=GC．
∴∠GCF=∠F．
∵∠DGC=2∠F，
∴∠F=∠1+∠2．
又∵∠DEC=∠AEB=180°-（∠1+∠2），
∴∠DEC+∠F=180°，
∴D，E，C，F四點共圓．
（2）延長GE交AB于H．
∵GD=GC=GF，
∴點G是經過D，E，C，F四點的圓的圓心．
∴GE=GC，
∴∠GCE=∠GEC．
又∵∠GCE+∠3=90°，∠1=∠3，
∴∠GEC+∠3=90°，
∴∠AEH+∠1=90°，
∴∠EHA=90°，
即GE⊥AB．

點評：本題綜合考查了四點共圓的判定與性質、切線長定理、圓的切線的性質、互余角之間的關系、垂直的判定等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．