Question

【題目】已知為自然對數(shù)的底數(shù), ).

(1)設(shè)為的導(dǎo)函數(shù),證明:當時, 的最小值小于0;

(2)若恒成立,求符合條件的最小整數(shù)

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）先對函數(shù)進行求導(dǎo)，然后再對導(dǎo)函數(shù)進行求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間，利用單調(diào)性確定到導(dǎo)函數(shù)的最小值；（2）先根據(jù)條件，確定問題即求函數(shù)的最小值大于0，然后對函數(shù)進行求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性及零點存在定理確定函數(shù)存在零點，并表示零點，然后通過不等式恒成立，確定關(guān)于的關(guān)系式，再對該關(guān)系式進行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求得的取值范圍，最后得到其取到的最小整數(shù).

試題解析：(1)令,則

因為,令,則.

所以當時, 單調(diào)遞減;

當時, 單調(diào)遞增.

則= = ==

令,

當時, 單調(diào)遞增;

當時, 單調(diào)遞減.

所以,所以成立.

(2) 恒成立,等價于恒成立.

令,

則因為,所以,所以單調(diào)遞增.

又,

所以存在,使得.

則時, 單調(diào)遞減;

時, 單調(diào)遞增.

所以恒成立. ①

且②

由①②得==恒成立.

又由②得,

所以

,

所以,

所以單調(diào)遞增, =,

=,

所以,所以符合條件的最小整數(shù).