Question

【題目】已知動點P到點F（0，1）的距離比它到直線y=-3的距離少2．

（1）求點P的軌跡E的方程．

（2）過點F的兩直線l1、l2分別與軌跡E交于A，B兩點和C，D兩點，且滿足=0，設M，N兩點分別是線段AB，CD的中點，問直線MN是否恒過一定點，若經過，求定點的坐標；若不經過，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）x2=4y；（2）（0，3）

【解析】

（1）由題意知動點P到點F的距離等于它到直線x＝﹣1的距離，可得點P軌跡E是拋物線．（2）根據題意可知直線l1，l2都有斜率，設直線l1的方程為y＝kx+1（k≠0），代入x2＝4y，利用根與系數的關系可得M（2k，2k2+1），由=0，可得，設出直線l2，可得N，寫出直線MN的方程，化簡即可得出結論．

（1）由題意知動點P到點F（0，1）的距離等于它到直線x=-1的距離相等，

所以點P的軌跡E是拋物線，軌跡方程是x2=4y

（2）根據題意可知，直線l1，l2都有斜率，

設直線l1的方程為y=kx+1（k≠0），代入x2=4y，得x2-4kx-4=0

設A（x1，y1），B（x2，y2），則

∴M（2k，2k2+1）∵，∴

設直線l2：，C（x3，y3），D（x4，y4），同理可得N

所以直線MN的方程為，化簡得：y-3=x，

所以直線MN恒過定點（0，3）．