Question

如圖所示，圓柱的高為2，底面半徑為

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，AE、DF是圓柱的兩條母線，過AD作圓柱的截面交下底面于BC．
（1）求證：BC∥EF；
（2）若四邊形ABCD是正方形，求證BC⊥BE；
（3）在（2）的條件下，求二面角A-BC-E的平面角的一個三角函數值．

Answer 1

分析：（1）由圓柱的性質知：AD平行平面BCFE，又過AD作圓柱的截面交下底面于BC．AD∥BC，由此能夠證明BC∥EF．
（2）由四邊形ABCD是正方形，知BC⊥AB，又AE⊥BC，由此能夠證明BC⊥BE．
（3）設正方形ABCD的邊長為x，則在Rt△AEB中有：BE²=x²-4在Rt△FEB中有：BE²+x²=28，由此能夠求出二面角A-BC-E的平面角的一個三角函數值．

解答：證明：（1）由圓柱的性質知：AD平行平面BCFE
又過AD作圓柱的截面交下底面于BC．AD∥BC…..（2分）
又AE、DF是圓柱的兩條母線AE∥DF，且AE=DF，
∴四邊形ADFE是平行四邊形AD∥EF，
∴BC∥EF…．（4分）
（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC⊥AB，又AE⊥BC，
BE、AE是平面ABE內兩條相交直線，
∴BC⊥平面ABE…（9分）
∴BC⊥BE…（10分）
（3）設正方形ABCD的邊長為x，
則在Rt△AEB中有：BE²=x²-4
在Rt△FEB中有：BE²+x²=28
∴x=4…（12分）
由（2）可知：∠ABE為二面角A-BC-E的平面角，
所以sin∠ABE=

AE

AB

=

1

2

…（14分）

點評：本題考查異面直線的平行的證明，考查直線與直線垂直的證明，考查二面角的平面角的三角函數值的計算，解題時要認真審題，仔細解答，合理地化空間問題為平面問題．