Question

（2013•廣州三模）如圖所示，圓柱的高為2，底面半徑為

3

，AE、DF是圓柱的兩條母線，過AD作圓柱的截面交下底面于BC，且AD=BC
（1）求證：平面AEB∥平面DFC；
（2）求證：BC⊥BE；
（3）求四棱錐E-ABCD體積的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據圓柱的上下底面平行，利用面面平行與線面平行的性質證出AD∥BC，結合AD=BC得四邊形ABCD是平行四邊形，從而AB∥CD，由線面平行的判定證出AB∥平面DFC，同理得出AE∥平面DFC，最后根據面面平行判定定理，即可得到平面AEB∥平面DFC；
（2）由（1）得四邊形BCFE為平行四邊形，結合圓內接四邊形的性質，得到四邊形BCFE為矩形，得到BC⊥BE，而AE⊥平面BCFE，得AE⊥BC，根據線面垂直的判定定理得BC⊥平面ABE，從而證出BC⊥BE；
（3）由錐體的體積公式，得V_E-ABCD=2V_E-ABC=2V_A-BCE，而V_A-BCE=

1

3

S_△BCE×AE=

2

3

S_△BCE，在底面圓中研究內接△BCE的面積，可得當且僅當BE=BC=

6

時面積有最大值，由此即可算出四棱錐E-ABCD體積的最大值．

解答：解：（1）由圓柱的性質，可得：AD∥平面BCFE
又∵過AD作圓柱的截面交下底面于BC．∴AD∥BC，
∵AD=BC，可得四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD
∵AB?平面DFC，CD?平面DFC，∴AB∥平面DFC，
由平行四邊形ADFE中AE∥DF，同理可得AE∥平面DFC，
∵AE、AB是平面AEB內的相交直線，∴平面AEB∥平面DFC；
（2）由（1）得BC

∥

.

EF，∴四邊形BCFE為平行四邊形
又∵四邊形BCFE是圓內接四邊形，∴四邊形BCFE為矩形，可得BC⊥BE，
又∵圓柱的母線AE⊥平面BCFE，BC?平面BCFE，∴AE⊥BC，
∵BE、AE是平面ABE內兩條相交直線，∴BC⊥平面ABE
結合BE?平面ABE，可得BC⊥BE；
（3）由錐體的體積公式，可得
四棱錐E-ABCD體積V_E-ABCD=2V_E-ABC=2V_A-BCE，
∵AE⊥平面BCFE，∴AE=2為三棱錐A-BCE的高，
可得V_A-BCE=

1

3

S_△BCE×AE=

2

3

S_△BCE
∵底面半徑r=

3

，四邊形BCFE為矩形
∴S_△BCE=

1

2

S_BCFE≤r²=3，可得V_A-BCE≤

2

3

×3=2
因此四棱錐E-ABCD體積V_E-ABCD=2V_A-BCE≤4，當且僅當BE=BC=

6

時等號成立
∴四棱錐E-ABCD體積的最大值為4．

點評：本題著重考查了線面平行的判定定理、面面平行的判定與性質、線面垂直的判定與性質、錐體的體積公式及其推論和圓內接三角形面積的最值求法等知識，屬于中檔題．