Question

【題目】已知直線恒過定點，圓經過點和定點，且圓心在直線上．

(1)求圓的方程；

(2)已知點為圓直徑的一個端點，若另一端點為點，問軸上是否存在一點，使得為直角三角形，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）先求出直線過定點，設圓的一般方程，由題意列方程組，即可求圓的方程；

（2）由（1）可知：求得直線的斜率，根據對稱性求得點坐標，由在圓外，所以點不能作為直角三角形的頂點，分類討論，即可求得的值．

(1)直線的方程可化為，由解得

∴定點的坐標為． 設圓的方程為，則圓心

則依題意有 解得

∴圓的方程為；

(2)由(1)知圓的標準方程為,∴圓心，半徑.

∵是直徑的兩個端點，∴圓心是與的中點，

∵軸上的點在圓外，∴是銳角，即不是直角頂點．

若是的直角頂點，則，得；

若是的直角頂點，則，得.

綜上所述，在軸上存在一點，使為直角三角形，或.