Question

已知拋物線y²=4x，點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）當(dāng) 

FM

•

OM

=4時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）求 

| OM |

| FM |

的最大值；
（3）設(shè)點(diǎn)B（0，1），是否存在常數(shù)λ及定點(diǎn)H，使得 

BM

+2

FM

=λ

HM

恒成立？若存在，求出λ的值及點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的性質(zhì)可得，F(xiàn)（1，0），設(shè)點(diǎn)M（x，y） （x≥0）由

FM

•

OM

=4  及點(diǎn)M滿足y²=4x可求x，y的值，進(jìn)而可求M
（2）設(shè)點(diǎn)M（x，y），其中x≥0．，利用向量的數(shù)量積的性質(zhì)可用x表示 

| OM |

| FM |

=

3 (x+1)2 + 2 x+1 +1

，利用換元法及二次函數(shù)性質(zhì)可求
（3）設(shè)點(diǎn)M（x，y），其中x≥0．假設(shè)存在常數(shù)λ及定點(diǎn)H（x₁，y₁），使得

BM

+2

FM

=λ

HM

恒成立．則由

BM

+2

FM

=λ

HM

，得（x，y-1）+2（x-1，y）=λ（x-x₁，y-y₁），從而可求λ及x₁，y₁

解答：解：（1）由拋物線的性質(zhì)可得，F(xiàn)（1，0），設(shè)點(diǎn)M（x，y）   （x≥0）
∵

FM

•

OM

=4∴x（x-1）+y²=4①又∵y²=4x②
①②聯(lián)立可得，x=1，y=±2     即M（1，2）或M（1，-2）
（2）設(shè)點(diǎn)M（x，y），其中x≥0.

| OM |

| FM |

  = 

x2+y2

(x-1)2+y2

  = 

x2+4x (x+1)2

  = 

-3 (x+1)2 + 2 x+1 +1

．
設(shè)t=

1

x+1

(0＜t≤1)，
則

| OM |

| FM |

  =  

-3t2+2t+1

  =  

-3(t- 1 3 )2+ 4 3

．
因?yàn)?＜t≤1，所以當(dāng)t=

1

3

（即x=2）時(shí)，

| OM |

| FM |

取得最大值

2 3

3

．
（3）設(shè)點(diǎn)M（x，y），其中x≥0．
假設(shè)存在常數(shù)λ及定點(diǎn)H（x₁，y₁），使得

BM

+2

FM

=λ

HM

恒成立．
由

BM

+2

FM

=λ

HM

，
得（x，y-1）+2（x-1，y）=λ（x-x₁，y-y₁），解：拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)是（1，0），設(shè)點(diǎn)M（x₀，y₀），其中x₀≥0．
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

FM

=(x0-1，y0)，

OM

=(x0，y0)，
所以

FM

•

OM

=x0(x0-1)+

y

2 0

=

x

2 0

+3x0=4，
解得x₀=1，或x₀=-4（舍）．
因?yàn)閥₀²=4x₀，所以y₀=±2，
即點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2），（1，-2）．
即

3x-2=λx-λx1  3y-1  =λy-λy1

整理得

(λ-3)x+2-λx1=0  (λ-3)y +  1 -λy1 =0 .

由x及y的任意性知λ=3，
所以x1=

2

3

，y1=

1

3

．
綜上，存在常數(shù)λ=3及定點(diǎn)H(

2

3

，

1

3

)，使得

BM

+2

FM

=λ

HM

恒成立．

點(diǎn)評：本題以拋物線的性質(zhì)的應(yīng)用為切入點(diǎn)，主要考查了平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)的應(yīng)用，平面向量的基本運(yùn)算，考查了考試的邏輯推理與運(yùn)算的能力，具有一定的綜合性．