Question

已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸的負半軸上，過其上一點的切線方程為為常數）.
（I）求拋物線方程；
（II）斜率為的直線PA與拋物線的另一交點為A，斜率為的直線PB與拋物線的另一交點為B（A、B兩點不同），且滿足，求證線段PM的中點在y軸上；
（III）在（II）的條件下，當時，若P的坐標為（1，－1），求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標的取值范圍.

Answer 1

（1）（2）線段PM的中點在y軸上（3）

（I）由題意可設拋物線的方程為,
∵過點的切線方程為,
……………………………………………………………2分

∴拋物線的方程為…………………………………………………3分
（II）直線PA的方程為,


同理,可得. …………………………………………………………5分
…………………………6分
又

∴線段PM的中點在y軸上.………………………………………………………7分
（III）由

………………………………………8分
∵∠PAB為鈍角，且P, A, B不共線,

即

…………………………………………………………10分
又∵點A的縱坐標   ∴當時，；
當
∴∠PAB為鈍角時點A的坐標的取值范圍為……………12分