Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（2）求證：時，.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）通過換元法，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，其中.構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，結(jié)合三種情況進行分類討論，由此求得實數(shù)的取值范圍.

（2）利用分析法，將所要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證明，結(jié)合（1）的結(jié)論以及基本不等式，證得上述不等式成立.

（1）.

記，原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，其中.

令，則，

記，則.

①當(dāng)時，注意到，故恒成立，從而.

于是，函數(shù)在上單調(diào)減，，符合題意；

②當(dāng)時，考慮時，恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)增，所以，時，，不符合題意，舍去.

③當(dāng)時，，，不符合題意，舍去.

綜上，實數(shù)的取值范圍是.

（2）.

由（1）的過程知，即.

故要證，只需證（*）.

事實上，由（1）的結(jié)論知，當(dāng)時，恒成立，即時，，而，即（*）成立，

等號當(dāng)且僅當(dāng)時取到，故原不等式獲證.