Question

【題目】如圖，三棱柱中，側棱平面， 為等腰直角三角形， ， ， 分別是， 的中點，且．

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）若，求點到平面的距離 .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析; （Ⅱ）.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）要證線面垂直，一般先證線線垂直，一個在中，利用勾股定理證得，然后由于三棱柱的側棱與底面垂直，從而側面與底面垂直，而底面是等腰直角三角形， 與垂直，從而與側面垂直，于是有，由線面垂直的判定定理可得；

（Ⅱ）要求點到平面的距離，在四面體中的面積易求，可把此四面體看作以為頂點，以為底面的三棱錐，這時棱錐的高與底面積易求，從而由體積法可求得題設距離．

試題解析：

（Ⅰ）證明：連接．

∵是等腰直角三角形斜邊的中點，所以，

∵平面， ， 平面， ，

又∵，

∴平面，

∵平面，∴．

設，則， ， ，

∴，∴．

又，∴平面．

（Ⅱ）解：取中點，連接，則，∴， 平面，

平面， ，

又∵，∴平面，

， ，

， ，解得．