Question

【題目】已知平面直角坐標系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為，右頂點為，設點．

（1）求該橢圓的標準方程；

（2）若是橢圓上的動點，求線段的中點的軌跡方程；

（3）過原點的直線交橢圓于兩點，求面積的最大值，并求此時直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）面積的最大值為，

【解析】

試題（1）利用橢圓的標準方程及其性質即可得出；（2）分別設點P，線段PA的中點M（x，y）．利用中點坐標公式及“代點法”即可得出；（3）對直線BC的斜率分存在于不存在兩種情況討論，當直線BC的斜率存在時，把直線BC的方程與橢圓的方程聯立，解得點B，C的坐標，利用兩點間的距離公式即可得出|BC|，再利用點到直線的距離公式即可得出點A到直線BC的距離，利用三角形的面積計算公式即可得出，再利用導數得出其最值

試題解析：（1）設橢圓的方程為

由題意可知：，

故

所以橢圓的方程為：

（2）設，則有：

①

又因為：②

將②代入①得到點的軌跡方程：

（3）當直線的斜率不存在時，

當斜率存在時，設其方程為：設

由

不妨設，則

設點到直線的距離為，則：

=

當時，

當時，

上式當且僅當時，等號成立

綜上可知，面積的最大值為，此時直線的方程為：