Question

【題目】如圖，直線y= x與拋物線y= x2﹣4交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與直線y=﹣5交于Q點(diǎn)，當(dāng)P為拋物線上位于線段AB下方（含A，B）的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，則△OPQ面積的最大值為 ．

Answer 1

【答案】30
【解析】解：直線y= x與拋物線y= x2﹣4聯(lián)立，得到A（﹣4，﹣2），B（8，4），
從而AB的中點(diǎn)為M（2，1），
由kAB═ ，直線AB的垂直平分線方程y﹣1=﹣2（x﹣2）．
令y=﹣5，得x=5，
∴Q（5，﹣5）．
∴直線OQ的方程為x+y=0，設(shè)P（x， x2﹣4）．
∵點(diǎn)P到直線OQ的距離d= = |x2+8x﹣32|，|OQ|=5 ，
∴S△OPQ= |OQ|d= |x2+8x﹣32|，|
∵P為拋物線上位于線段AB下方的點(diǎn)，且P不在直線OQ上，
∴﹣4≤x＜4 ﹣4或4 ﹣4＜x≤8．
∵函數(shù)y=x2+8x﹣32在區(qū)間[﹣4，8]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=8時(shí)，△OPQ的面積取到最大值30．
所以答案是：30．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減才能正確解答此題．