Question

已知一次函數(shù)f（x）是增函數(shù)且滿足f（f（x））=4x-3．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達式；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜m對于一切x∈[-2，2]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)f（x）是增函數(shù)，設出一次函數(shù)的表達式，代入f（f（x））=4x-3，利用系數(shù)相等可求一次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)（1）中求出的函數(shù)是增函數(shù)，直接求出f（x）在[-2，2]上的最大值，則實數(shù)m的取值范圍可求．

解答：解：（1）由題意可設f（x）=ax+b（a＞0）．
由f（f（x））=4x-3，得：a（ax+b）+b=4x-3，
即a²x+ab+b=4x-3，所以，

a2=4 ab+b=-3

，
解得：

a=2 b=-1

或

a=-2 b=3

，
因為a＞0，所以a=2，b=-1．
所以f（x）=2x-1；
（2）由f（x）＜m，得m＞2x-1．
不等式f（x）＜m對于一切x∈[-2，2]恒成立，
即為m＞2x-1對于一切x∈[-2，2]恒成立，
因為函數(shù)f（x）=2x-1在[-2，2]上為增函數(shù)，所以f_max（x）=f（2）=3．
所以m＞3．
所以，不等式f（x）＜m對于一切x∈[-2，2]恒成立的實數(shù)m的取值范圍（3，+∞）．

點評：本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了利用代入法求函數(shù)解析式，本題的（2）實則是分離變量的解題思想，此題是基礎題．